Vissza

Mintafeladat

A csere/fogyasztás egyensúlya

Egy kéttermékes cseregazdaságban az x és y termékekből rendelkezésre álló összes készlet x=316 és y=728 egység. A termékpiacon A és B fogyasztói csoport van jelen, preferenciarendszereik az , illetőleg az hasznossági függvénnyel jellemezhetők, ahol xA és yA az A-beli, xB és yB pedig értelemszerűen a B-beli fogyasztók által x és y termékekből elfogyasztott mennyiségeket jelöli. Az A csoport rendelkezésére álló induló készlet nagysága x-ből 250, y-ból pedig 160 egységnyi.

a) Határozza meg a csere szerződési görbéjének egyenletét és az indulókészletek által meghatározott közömbösségi görbék egyenletét! A csere Edgeworth-dobozában ábrázolja a szerződési görbét, az induló készletallokációt, az annak megfelelő közömbösségi görbéket valamint a cseregazdaság magját!

Megoldás:

A szerződési görbe pontjaiban . A megadott hasznossági függvények alapján , valamint . Mivel és , ezért , melynek átrendezésével a csere szerződési görbéjének egyenleteként az összefüggést kapjuk.

Határozzuk meg az indulókészletekhez tartozó hasznossági szinteket!

Ezek alapján az indulókészletekhez tartozó közömbösségi görbék egyenlete .

Az alábbi Edgeworth-dobozban a csere szerződési görbéjét és az algebrai úton imént meghatározott közömbösségi görbéket ábrázoltuk. A közömbösségi görbék által határolt lencse alakú terület a kölcsönösen előnyös cserék halmaza. A szerződési görbe ezen halmazon áthaladó szakasza a cseregazdaság magja.
118. ábra
A gazdaság magjának határoló pontjait algebrailag is meghatározhatjuk. Az A fogyasztói csoport koordináta rendszerének origójához közelebb lévő pont esetében az egyenletű közömbösségi görbe és az szerződési görbe metszéspontját kell megkeresnünk. A két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszer feladatunk szempontjából releváns megoldása . (A másik határoló pont meghatározása a B csoport hasznossági függvényének alakja miatt matematikailag bonyolultabb feladat, de táblázatkezelő használatával célérték-kereséssel ennek koordinátái is könnyen generálhatók. Ezek az A fogyasztói csoporthoz tartozó tengelyekre vonatkoztatva .)

b) A fentiekben megadott induló készletallokáció mellett árak esetén egyensúlyba kerül-e az x és y termékek piaca? Ha nem, milyen irányú változást idéz elő az egyensúlytalanság a termékek relatív árában? Milyen árarány mellett alakul ki a két termékpiac együttes egyensúlya, s hogyan jellemezhető ebben az esetben a készletek elosztása?

Megoldás:

Ábrázoljuk a ponton átmenő meredekségű áregyenest!

A piaci egyensúly feltétele, hogy az érvényes árak mellett az egyik fogyasztói csoport által cserére felkínált termékmennyiség mindkét termék esetében megegyezzen a másik csoport által megvásárolni kívánt termékmennyiséggel. Ez akkor fordul elő, ha a gazdaság magjában található olyan pont, amely esetében teljesül az, hogy az adott pontban érvényes helyettesítési határráták, valamint az indulókészlet pontján és az adott ponton át húzott áregyenes meredeksége megegyezik. A fenti ábrán látható, hogy az adott árak és indulókészletek mellett érvényes áregyenes át sem megy a cseregazdaság magján, tehát a árak nem lehetnek egyensúlyi árak.
119. ábra
A jelenleg érvényes piaci árak esetén az x termék piacán túlkereslet, az y termék piacán pedig túlkínálat alakul ki. Ezért az x termék ára emelkedni, az y termék ára pedig csökkeni fog, amely változás növeli az áregyenes meredekségét.

Az egyensúlyi árarány meghatározásához meg kell keresnünk a gazdaság magjában azt a pontot, ahol az indulókészletből az adott ponton át húzott áregyenes meredeksége megegyezik az adott pontban érvényes helyettesítési határrátával. A indulókészletből a gazdaság magjának valamely pontján át húzott szakasz meredekségét az összefüggés írja le. Keressük azt a pontot, ahol . Innen . Felhasználva a szerződési görbe egyenletét, a két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása , az egyensúlyi árarány pedig .
120. ábra
Vissza