Mintafeladat

Duopólium-modellek

Egy iparágban két vállalat működik. Az iparági inverz keresleti függvény . Az egyes vállalatok összköltség-függvényei és , ahol q1 és q₂ az egyes vállalatok kibocsátását jelöli, továbbá .

a) Határozza meg a piacon kialakuló árat, az egyes vállalatok kibocsátását, valamint az általuk realizált profit nagyságát, ha mindkét vállalat azt feltételezi, hogy a másik az előző időszakban kínált mennyiséget fogja továbbra is termelni!

Megoldás:

A feladatban megfogalmazott feltételezés esetén a Cournot-duopólium modellje érvényes. Első lépésben írjuk fel a vállalatok reakciófüggvényét, amely megmutatja, hogy a másik vállalatról feltételezett különböző kibocsátási szintek mellett milyen kibocsátási nagyság biztosítja a vizsgált vállalat számára a maximális profitot. Az első vállalat reakciófüggvényének meghatározásához induljuk ki az első vállalat által realizált gazdasági profit nagyságát leíró összefüggésből!

Határozzuk meg azt q1 kibocsátási nagyságot, amely mellett az első vállalat profitja maximális!

, amelyből átrendezéssel az első vállalat reakciófüggvényét kapjuk.

A második vállalat reakciófüggvénye analóg módon határozható meg.

A két vállalat reakciófüggvényét tűntettük fel az alábbi ábrán. A reakciófüggvények metszéspontja a Cournot-féle egyensúlyi pont, amelyben egyik vállalatnak sem áll szándékában, hogy változtasson kibocsátásán.

Innen , valamint ezt a 2. vállalat reakciófüggvényébe visszaírva eredményt kapjuk . A duopólium vállalatainak együttes kibocsátása . Ez alapján a piacon kialakuló ár .

Végezetül helyettesítsük az előzőekben kapott q1 és q2 értékeket a vállalatok által realizált profit nagyságát leíró összefüggésekbe!

Így az első vállalat 31 millió, a második pedig 41,2 millió Ft profitot realizál.

b) Határozza meg az egyes vállalatok kibocsátását, ha az első vállalat ismeri a második vállalat reakciófüggvényét, a második vállalat viszont nem ismeri az első vállalat reakciófüggvényét! Határozza meg a vállalatok kibocsátását abban az esetben is, ha a második vállalat a vezető és az első a követő!

Megoldás:

A feladatban megfogalmazott szituációt a Stackelberg-duopólium modellje írja le. Oldjuk meg a modellt először abban az esetben, amikor az első vállalat a vezető. Ilyenkor az első vállalat profitmaximalizáló döntése során figyelembe veszi a második vállalat reakciófüggvényét, amely az előző részfeladat megoldása alapján .

Az első vállalat profitfüggvényébe így q2 helyére a második vállalat reakciófüggvényét írjuk, majd megkeressük q1 szerinti maximumát!

Innen az első vállalat profitmaximalizáló kibocsátása . A q₁-re kapott értéket a második vállalat reakciófüggvényének egyenletébe visszaírva határozható meg a második vállalat kibocsátása, amely .

Ugyancsak a fent bemutatott eljárással határozható meg a modell megoldása abban az esetben, ha a vezető és követő szerepeket fordítva osztjuk ki a vállalatok között.