Vissza

Mintafeladat

Költségfüggvények levezetése a termelési függvényből

Egy vállalat technológiája a alakú Cobb-Douglas típusú termelési függvénnyel írható le, ahol K a felhasznált tőketényező értéke, L pedig a foglalkoztatottak száma. Rövid távon a tőketényező nagysága 100 millió Ft-os szinten rögzített. A munkavállalók adott időszakra vonatkozó bére 50.000 Ft/fő, az igénybe vett tőketényező után pedig 20% kamatot kell fizetni. Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeinek egyenletét! Ábrázolja a kapott függvényeket!

Megoldás:

A vállalat összköltségét a felhasznált tényezőknek kifizetett jövedelmek összege adja.


Az összköltség alakulását azonban mi most nem L, hanem Q függvényeként szeretnénk leírni, ezért a parciális termelési függvényből fejezzük ki L értékét!

, innen

Az L-re kapott kifejezést az összköltségre kapott formulába helyettesítve a vállalat összköltség-függvénye .

A fixköltség-függvény a TC konstans, a változóköltség-függvény pedig annak változó tagja, azaz , illetve .

Az átlagköltség-függvényeket a megfelelő költségfüggvény Q-val történő osztásával kapjuk. Így , , illetve .

A határköltség-függvény a TC vagy a VC függvény deriváltja. (Mivel a Q-tól független fix tag deriváltja zérus, ezért mindegy, hogy az ezt is tartalmazó TC-t vagy csak a változó költségek alakulását leíró VC-t deriváljuk.)


A függvények grafikonját az alábbi ábrák mutatják.
76. ábra
77. ábra
Az előzőekben megkapott átlagköltség-függvények alapján határozza meg a változó költség, a fix költség és a teljes költség nagyságát a kibocsátási szinten!

Megoldás:

A értéket a függvények képletébe helyettesítve számoljuk ki először az átlagköltségek adott kibocsátási szint mellett érvényes helyettesítési értékét!






A változó költségek nagyságát a kibocsátási szint és az egységnyi kibocsátásra jutó változó költség szorzata adja, azaz az előbb kapott értéket meg kell szoroznunk a értékkel. Így . Ez megegyezik az alábbi ábrán sötéttel jelzett terület nagyságával, hiszen az egy olyan téglalap, melynek oldalai az adott kibocsátási szinttel, valamint az ahhoz tartozó áltagos változó költséggel egyenlők.
78. ábra
Az fix költségek nagysága hasonló módszerrel számolható.

Az ennek megfelelő területet jelöltük meg a következő ábrán.
79. ábra
A változó és fix költségek összege adja a teljes költséget,

. Ez a grafikus megoldásban is szemléletesen megjelenik.
80. ábra
A korábban levezetett határköltség-függvény segítségével határozza meg a változó költségek nagyságát a kibocsátási szinten!

Megoldás:

Mivel a határköltség-függvényt a változóköltség-függvény Q szerinti deriváltjaként kaptuk, ezért a változó költség nagysága a határköltség-függvény ismeretében integrálással határozható meg. Az alábbi ábrán sötéttel jelölt MC alatti terület felel meg a keresett változó költségnek.
81. ábra
Gondoljuk végig! Zérus kibocsátási szinten nem merül fel változó költség. Ha a kibocsátást egységnyivel növeljük, akkor költségtömeg növekedését a határköltség adja meg. Ha a kibocsátási szintig összegezzük ezeket a pótlólagos termékegység előállítása következtében megjelenő költségnövekményeket, akkor valóban a változó költségek nagyságát kapjuk.

Vissza