Mintafeladat

Az általános alakú parciális termelési függvény

Egy vállalat munka- és tőketényezőt használ fel termelőtevékenysége során. A munka- és tőkefelhasználás mértéke és az ezen tényezőmennyiségekkel elérthető maximális kibocsátási szint közötti összefüggést az termelési függvénnyel jellemezhetjük, ahol K a felhasznált tőketényező értéke, L pedig a foglalkoztatottak száma. A vállalat által alkalmazott technológia nem teszi lehetővé a termelés munkatényező igénybevétele nélküli folytatását, ugyanakkor 100 főnél több alkalmazott foglalkoztatására sincs lehetőség. A fent megadott termelési függvény tehát csak a tartományban értelmezhető.

Az alábbi ábrán a vállalat kétváltozós termelési függvényének grafikonját mutatjuk be. A különböző színekkel megrajzolt részek a jelmagyarázatban feltűntetett különböző kibocsátási tartományokat jelzik.

Megoldás:

A fent megadott kétváltozós termelési függvénybe K helyére egyszerűen írjunk 100 milliót, így a parciális termelési függvény , vagyis a rendelkezésre álló tényezők és az azokkal előérhető maximális kibocsátási nagyság közötti kapcsolatot rövid távon a termelési függvény írja le, melynek grafikonját a következő ábrán mutatjuk be. Ugyanezt az alakzatot kapjuk, ha a korábbi háromdimenziós koordináta rendszer L és Q tengelyei által kifeszített síkkal párhuzamos síkot állítunk a K tengely 100 millió Ft-os tőkefelhasználást jelentő pontjába és a sík által a hosszú távú termelési függvényből kimetszett részt ábrázoljuk.

Megoldás:

Az egyes tényező határterméke vagy határtermelékenysége az termelési függvény adott tényező szerinti parciális deriváltja, amely esetünkben a két függvény szorzatára vonatkozó deriválási szabályt felhasználva

.

Az előzőekben kifejezett parciális termelési függvényt is felhasználhatjuk a munka határtermékének meghatározásához. A parciális termelési függvény munkatényező szerinti deriváltjaként is a munka határtermékét kapjuk, ekkor azonban a határtermék-függvény kizárólag a Ft-os tőkefelhasználás esetén érvényes értékeket adja vissza.

A munkára vonatkozó átlagtermék-függvényt ugyancsak kifejezhetjük általános alakban, bármely tőkefelhasználás mellett érvényes formulával és kizárólag a rövid távon rögzített tőkefelhasználás mellett érvényes képlettel is.

A 100 millió Ft-os tőkefelhasználás mellett érvényes határ- és átlagtermék-függvény grafikonját mutatja az alábbi ábra.

Határozzuk meg a munkatényező rövid távú termelési rugalmasságát 100 millió Ft-os tőkefelhasználás mellett!

Megoldás:

Egy tényező termelési rugalmassága meghatározható az adott tényező határ- és átlagtermelékenységének hányadosaként. Az előzőekben kapott eredmények felhasználásával

A munka termelési rugalmasságát kifejező formulába a munkafelhasználás különböző értékeit helyettesítve az adott pontban – ahol most – érvényes, úgynevezett pontrugalmassági értékeket kapjuk, amely azt fejezi ki, hogy hány százalékkal változik a kibocsátás nagysága, abban az esetben, ha a tőketényező adott szinten rögzített, a munkafelhasználást pedig végtelen kis mértékben változtatjuk.

Az előzőleg kapott, rövid távra érvényes határ- és átlagtermék-függvények segítségével határozzuk meg a parciális termelési függvény nevezetes pontjait és tartományait!

Megoldás:

A határtermék-függvény vizsgálatával elhatárolhatjuk egymástól a munka növekvő és csökkenő hozadéki szféráját. A parciális termelési függvény inflexiós pontjáig a munka határterméke növekszik, ami azt jelenti, hogy a kibocsátás nagysága a munkafelhasználás növelésével növekvő mértékben nő. Ahol a határtermék maximális, ott van a parciális termelési függvény inflexiós pontja. A határtermék szélső értékét a

egyenlet megoldásaként kapjuk. Az előzőek alapján a határtermék az munkafelhasználás mellett éri el maximumát, amely egyben a parciális termelési függvény inflexiós pontját is jelenti. Egy újabb alkalmazott munkába állítása 22 főig növekvő mértékben növeli a kibocsátás nagyságát, 23 főtől kezdve azonban már csak egyre csökkenő mértékben.

Az átlag- és határtermék értékek együttes vizsgálatával további fontos következtetéseket vonhatunk le. Ahol a munka termelési rugalmassága nagyobb, mint 1, ott a változó tényező felhasználása technikailag nem hatékony. A változó tényező technikai optimuma a munka átlagtermékének maximumában van. Mivel az átlagtermék maximumában az átlag- és határtermék értékek megegyeznek, ezért itt a munka termelési rugalmassága pont egységnyi.

Az előzőek alapján az egyenlet megoldását keressük, amely szerint a munka átlag- és határterméke L = 36,788 munkafelhasználás mellett lesz egyenlő egymással. Az átlag- és határtermék grafikonja alapján látható, hogy ennél alacsonyabb munkafelhasználás mellett , azaz a munkafelhasználás nem hatékony.

A fix tényező technikai optimuma és a változó tényező technikai maximuma a rövid távon rendelkezésre álló tényezőkkel elérhető maximális kibocsátási szintnél van. Ebben a pontban a munkatényező rugalmassága zérus, mivel a munka határterméke ilyenkor pontosan nullával egyenlő. Az egyenlet megoldása alapján a parciális termelési függvény munkafelhasználás mellett éri el maximumát. 60 főnél nagyobb számú alkalmazott foglalkoztatása technikailag nem hatékony sem a munka-, sem a tőketényező szempontjából. A vállalkozás 100 millió Ft-os tőkefelhasználás mellett ezek szerint akkor termel a termelési függvény technikailag releváns tartományában, ha az alkalmazottak száma 36 és 61 fő között van.

A fentiekben meghatározott nevezetes pontok jelölésre kerületek az előző két ábrán is!