Mintafeladat

Homogén termelési függvény

Pozitív homogén-e az termelési függvény?

Megoldás:

Az f függvény r-ed fokban pozitív homogén, ha minden mellett. Az ellenőrzéshez válasszunk olyan értékeket, amelyekkel a lehető legegyszerűbb a számolás! Legyen és alkalmazzuk a definíciót mondjuk és mellett!

Helyettesítsük be a fenti értékeket a képletbe, majd határozzuk meg r konkrét értékét a fenti két esetben. Ha a termelési függvény pozitív homogén, akkor r értéke mindkét esetben azonos lesz!

, amelyből .

, amelyből . A két egyenlet megoldása nem lehet azonos, mert ez azt jelentené, hogy a 40 a 6 négyzete lenne.

A termelési függvény tehát nem pozitív homogén.

Egy másik lehetséges megoldás:

Az Euler-tétel csak pozitív homogén függvényekre érvényes. Határozzuk meg a tőke és a munka határtermelékenységét, majd ezek segítségével írjuk fel az Euler-tételt! Számoljuk ki a termelési függvény helyettesítési értékét egy konkrét pontban, amely az egyszerűség kedvéért ismét lehet . Helyettesítsünk be különböző értékeket az Euler-tételben megfogalmazott összefüggésbe és számoljuk ki a skálarugalmasságok (r) értékét! Ha különböző -k esetén nem azonos számot kapunk r értékére, akkor a termelési függvény nem pozitív homogén.