Vissza

Mintafeladat


Diszkrét értékekből felvázolt termelési függvények

Egy vállalat technológiája a következő táblázattal írható le. Az L a felhasznált munka, K pedig a felhasznált tőke nagyságát jelöli, a táblázat belsejében szereplő értékek pedig az adott munka- és tőkefelhasználással előállítható termékmennyiséget jelölik.

K L
  1 2 5 10 15 20 40 50 75 80 90 100
1 1 2 5 10 15 20 40 50 75 80 90 100
2 2 4 10 20 30 40 80 100 150 160 180 200
3 3 6 15 30 45 60 120 150 225 240 270 300
4 4 8 20 40 60 80 160 200 300 320 360 400
5 5 10 25 50 75 100 200 250 375 400 450 500
6 6 12 30 60 90 120 240 300 450 480 540 600
7 7 14 35 70 105 140 280 350 525 560 630 700
8 8 16 40 80 120 160 320 400 600 640 720 800
9 9 18 45 90 135 180 360 450 675 720 810 900
10 10 20 50 100 150 200 400 500 750 800 900 1000
20 20 40 100 200 300 400 800 1000 1500 1600 1800 2000
50 50 100 250 500 750 1000 2000 2500 3750 4000 4500 5000

Határozza meg a 100 egységnyi termeléshez tartozó isoquant görbe pontjait, majd ábrázolja a görbét!

Megoldás:

A görbe pontjai:

K 1 2 5 10 20 50
L 100 50 20 10 5 2

Ezen tényezőkombinációk bármelyikét választja a vállalat, a termelés nagysága mindegyik esetben 100 egység lesz.

A görbe ábrázolása:
57. ábra
Jelölje ki az előzőleg megadott táblázatban a parciális termelési függvényt, amennyiben a tőke nagyságát 5 egységben rögzítik!
Ábrázolja az összefüggést!
Értelmezze a függvényt!

Megoldás:

A termelési függvény pontjai:

L 1 2 5 10 15 20 40 50 75 80 90 100
Q 5 10 25 50 75 100 200 250 375 400 450 500

A termelési függvény ábrázolása:
58. ábra
Értelmezés:
A termelési függvény az adott inputkombinációk és a velük maximálisan megtermelhető termékmennyiség kapcsolatát mutatja be. Az ábrán látható függvény azt mutatja meg, hogy 5 egységnyi tőke felhasználásával különböző munkamennyiségekkel mennyit lehet termelni.
Az ábra azért mutat több töréspontot, mert az nem képletből, hanem táblázatból készült.

Adott a következő, diszkrét adatokkal megadott parciális termelési függvény:

L 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Q 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Határozza meg a munka, mint változó termelési tényező határtermék és átlagtermék értékeit.

Megoldás:

A munka határterméke definíció szerint megmutatja, hogy mennyivel növekszik a kibocsátás, ha a felhasznált munka mennyisége egy egységgel növekszik. Így a számítási mód: .

A 25 és a 36 egységnyi munkához tartozó pontok között a számítás például: (60-50)/(36-25)=0,909. Ez azt jelenti, hogy ebben a munkatartományban a munka minden egységnyi növelése 0,909 egységgel növeli meg a termelés nagyságát.

Az átlagtermék az egy egységnyi változó tényezőre jutó kibocsátást mutatja: mennyit termel átlagosan egységnyi munka. Számítási képlete: .
A 25 egységnyi munkához tartozó átlagtermék például: 50/25=2, vagyis 25 egységnyi munka alkalmazása esetén minden egyes munkaegység átlagosan 2 egységnyi kibocsátást produkál.

A keresett értékek táblázatos formában:

L 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Q 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
MPL - 10 3,333 2 1,429 1,111 0,909 0,769 0,667 0,588 0,526
APL - 10 5 3,333 2,5 2 1,667 1,429 1,25 1,111 1

A következő táblázatban szereplő adatokból határozza meg a változó termelési tényező határ- és átlagtermékét, majd ábrázolja azokat.
Mutassa be a határ- és az átlagtermék kapcsolatát: mely tartományokon melyik függvény vesz fel magasabb értéket?

L 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q 0 200 470 630 730 800 870 920 930 900 850

Megoldás:

Az ismert képleteket (, valamint ) alkalmazva a határ és az átlagtermék a következő értékeket veszi fel:

L 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q 0 200 470 630 730 800 870 920 930 900 850
MPL 20 27 16 10 7 7 5 1 -3 -5
APL 20 23,5 21 18,25 16 14,5 13,14 11,63 10 8,5

Ha az átlag- és a határterméket ábrázoljuk, akkor a következő grafikont kapjuk:
59. ábra
A grafikonon látszik, hogy a munkafelhasználás egy bizonyos tartományában a határtermék magasabb az átlagterméknél. A munka átlagterméke egy darabig növekszik. Miután viszont metszette a határterméket, folyamatosan csökken.
A kapott táblázat adatait megvizsgálva látható, hogy ha L>20, akkor a határtermék nagyobb, mint az átlagtermék. Ha L>20, akkor viszont már az átlagtermék magasabb, mint a határtermék. Ebből következik, hogy a munka átlag- és határtermékének metszéspontja a 20 és 30 egységnyi munka közötti tartományban kell, hogy legyen.

Számítsa ki a munka termelési rugalmasságát az előző feladatban szereplő adatok alapján, ha a munka felhasználása 10-ről 20 egységre változik, illetve ha a munkafelhasználás 40-ről 50 egységre növekszik.
Értelmezze a kapott adatokat, mutassa meg, hogy a tanult összefüggések érvényesülnek!

Megoldás:

A munka termelési rugalmasságának képlete: . Ez a képlet a pontrugalmasságot adná – tehát a termelési függvény egy adott pontjához tartozó tényező rugalmasságát -, viszont csak akkor használható, ha a termelési függvény egyenlettel került megadásra.
A példában viszont diszkrét adatok állnak rendelkezésre, ilyenkor az ívrugalmasság módszerét alkalmazhatjuk.
Az ívrugalmasság képlete: .
A képletben – mint az látható – viszonyítási alapnak a kezdeti és a végső érték átlagát használjuk (vagyis középponti formulát számítunk). Ebben az esetben ugyanis mindegy, hogy a változás melyik irányba történik, a számítás eredménye ettől függetlenül azonos lesz.

A példa által keresett értékek a következők:


Azt látjuk, hogy amíg az átlagtermék növekszik (vagyis a 10 és 20 egységnyi munka közötti tartományban), a munka termelési rugalmassága nagyobb, mint egy (a példában 1,2 értéket vett fel). Ez azt jelenti, hogy ebben a tartományban (vagyis amikor a munka mennyisége 10-ről 20-ra, növekszik) a munka mennyiségének 1%-os növelése a kibocsátás 1,2%-os növekedését eredményezi. Ha a munka mennyiségét 1%-kal csökkentenénk, akkor ennek megfelelően a kibocsátás 1,2%-kal csökkenne ebben a tartományban.
Abban a tartományban, ahol az átlagtermék csökken (tehát miután az átlagtermék nagyobb lesz, mint a határtermék), a munka termelési rugalmassága egynél kisebb: a példában 0,41-es értéket vett fel.
Eszerint ha a munka mennyiségét 40-ről 50-re növeljük, akkor a munka mennyiségének 1%-os növelése a kibocsátást 0,41%-kal növeli.

Keressen olyan tartományt – majd végezzen is számítást – amikor a munka termelési rugalmassága negatív értéket vesz fel!
Értelmezze a kapott adatot!

Megoldás:

A munka termelési rugalmassága akkor vesz fel negatív értéket, ha a képletben a

és a tényezők ellentétes előjelűek.
Mivel pedig a nevezők nem lehetnek negatívak, ellentétes előjel csak a számlálóban alakulhat ki. Ehhez tehát arra van szükség, hogy a munka és a kibocsátás ellentétes irányba változzon. Ez pedig akkor történik meg, ha a határtermék negatív, vagyis a munka mennyiségének nagyobbnak kell lennie 90 egységnél.
Vegyük tehát például azt a változást, amikor a munka mennyiségét 90-ről 100 egységre változtatjuk. Ekkor a termelési rugalmasság értéke:


Ez pedig azt jelenti, hogy ha a munka felhasználását 1%-kal emeljük (90 és 100 közötti tartományban), akkor ez a kibocsátás 0,54%-os csökkenését eredményezi.
Vissza