Mintafeladat

Az optimális fogyasztási kombináció meghatározása

Feladat:

Kovács Anasztázia I. évfolyamos főiskolai hallgató. Havi 4000 Ft-ot költhet főiskolai jegyzetekre (1000 Ft/db) és kedvenc időtöltésére, a teniszre (500 Ft/óra). Anasztázia hasznossági függvényét az alábbi összefüggéssel jellemezhetjük: , ahol j a jegyzetből vásárolt mennyiséget, t pedig a teniszezéssel töltött órák számát jelöli. Abban próbálunk főiskolásunknak segíteni, hogy meghatározzuk az adott hónapban vásárolt jegyzetek és teniszórák optimális mennyiségét.

Az első megoldási lehetőség:

A megoldandó feladat a következő: miután Anasztázia a hasznosságérzetét próbálja maximalizálni, a célfüggvény az alábbi formát ölti: , a korlátozó feltételek pedig: , illetve . A feladathoz tartozó Lagrange-függvény:

Az első parciális deriváltak:

Az egyenleteket megoldva adódik az optimális választás: Kovács Anasztázia pontosan 2 jegyzetet vásárol havonta, s éppen 4 órát tölt teniszezéssel.

A második megoldási lehetőség:

A fenti feladatban megtehetjük azt is, hogy a költségvetési korlátból kifejezzük az egyik változó értékét, például a teniszórák számát:

Ezt kell visszahelyettesíteni a hasznossági függvény egyenletébe:

Ez a függvény akkor veszi fel a maximumát, ha a j szerinti első derivált értéke pontosan nullával egyenlő:

amiből már egyszerűen adódik a másik módszerrel kiszámított j=2 érték. Miután a megoldásnak ki kell elégítenie a költségvetési egyenletet, ha ezt a j=2-es értéket az egyenletbe visszahelyettesítjük, megkapjuk, hogy Anasztázia pontosan 4 alkalommal teniszezik egy hónapban.

A harmadik megoldási lehetőség

Ezt módszert akkor választhajuk, ha a fogyasztó preferenciái olyanok, hogy a belőlük származtatott közömbösségi görbék minden egyes pontjában értelmezhető a helyettesítés határrátája. Ekkor ugyanis optimális választás esetén a helyettesítés határrátája és a költségvetési egyenes meredekségének abszolút értéke megegyezik egymással. A fenti példában a helyettesítés határrátája: , amelynek optimális esetben az árarányokkal, azaz -vel kell egyenlőnek lennie. Ebből kapjuk, hogy optimális esetben a fogyasztó kétszer annyi teniszórát vesz, mint jegyzetet, amely összefüggést a költségvetési egyenletbe visszahelyettesítve kapjuk a már ismert eredményt az optimális választásra.