Mintafeladat
A jövedelem hatása a keresletre
Egy fogyasztó preferenciáit az függvénnyel írhatjuk le. A fogyasztó a két termékre összesen 600 egység jövedelmet tud elkölteni. Az x termék ára 10 pénzegység, az y ára 25 pénzegység. A feladatban azt fogjuk nyomon követni, hogyan változtatja meg x termék keresletét ez a fogyasztó, ha jövedelme változik.
1. Határozzuk meg az induló feltételek mellett a fogyasztó keresletét!
Válasz:
A költségvetési egyenes egyenlete: 
Helyettesítsük ezt be a fogyasztási függvénybe! 
Az optimális választás ott van, ahol a hasznosság maximális, vagyis ahol a fenti függvény első deriváltja 0. A derivált-függvény:
A függvény megoldása: x=40
2. Írjuk fel az jövedelem-fogyasztási görbe (ICC) egyenletét!
Válasz:
A jövedelem-fogyasztási görbe azon az x-y kombinációk a fogyasztói térben, amelyeket különböző jövedelem, de változatlan árak mellett vásárolna a fogyasztó. Ezért az ICC görbe egyenlete azon pontokat írja le, amelyeknél a közömbösségi görbék meredeksége (a helyettesítés határrátája) megegyezik az árak arányával.
A közömbösségi görbe mentén a helyettesítés határrátája megegyezik a határhasznok arányával, vagyis a hasznossági függvény x szerinti deriváltjának és y szerinti deriváltjának hányadosával. A ráta meghatározásához először ez utóbbi deriváltakra van szükségünk.
Az x termék határhaszna az adott fogyasztó esetében hasznossági függvényének x szerinti deriváltja: . Az y termék határhaszna: 
A helyettesítés határrátája: 
Az ICC görbe:
3. Írjuk fel az Engel görbe egyenletét!
Válasz:
Az Engel-görbe kifejezi, hogy a jövedelem változásával hogyan változik egy adott termék kereslete. A görbét lényegében az ICC-görbéből lehet levezetni, úgy, hogy a jövedelem nagyságát is figyelembe vesszük.
A közömbösségi görbe és a költségvetési egyenes érintési pontját most úgy kell meghatároznunk, hogy az árakat adottnak vesszük, de a jövedelmet változónak: 
Helyettesítsük be ezt a közömbösségi görbe egyenletébe és határozzuk meg az optimumot!
ennek a deriváltja: 
Az optimumban ennek 0-val kell megegyeznie: . Ebből kifejezve x-t, megkapjuk, hogyan függ x kereslete a jövedelemtől. Ez pedig az Engel-görbe egyenlete:
Ha most az induló helyzetben szereplő jövedelmet vesszük figyelembe, akkor szintén 40 egységnyi keresletet kapunk eredményként.
4. Mekkora lesz az x termék kereslete, ha változatlan árak mellett a fogyasztó jövedelme 750-re növekszik?
Válasz:
Az Engel-görbe egyenlete alapján: 750/15 = 50.
Ellenőrzésképpen határozza meg a keresletet a közömbösségi görbék és az új költségvetési egyenes segítségével is!
A költségvetési egyenes egyenlete: 
Ezt behelyettesítve a közömbösségi görbe egyenletébe:
a deriváltja: 
A megoldás: x = 50
5. Határozzuk meg x termék keresletének jövedelem-rugalmasságát!
Megoldás 1.
Ívrugalmasság: 
Megoldás 2.
Pontrugalmasság: 
Az Engel-görbe deriváltja: 1/15. Ha az Engel-görbét osztjuk I-vel, annak értéke szintén 1/15, a kettő hányadosa pedig 1.
|