Mintafeladat

A jövedelem hatása a keresletre

Egy fogyasztó preferenciáit az függvénnyel írhatjuk le. A fogyasztó a két termékre összesen 600 egység jövedelmet tud elkölteni. Az x termék ára 10 pénzegység, az y ára 25 pénzegység. A feladatban azt fogjuk nyomon követni, hogyan változtatja meg x termék keresletét ez a fogyasztó, ha jövedelme változik.

1. Határozzuk meg az induló feltételek mellett a fogyasztó keresletét!

Válasz:

A költségvetési egyenes egyenlete:

Helyettesítsük ezt be a fogyasztási függvénybe!

Az optimális választás ott van, ahol a hasznosság maximális, vagyis ahol a fenti függvény első deriváltja 0. A derivált-függvény:

A függvény megoldása: x=40

2. Írjuk fel az jövedelem-fogyasztási görbe (ICC) egyenletét!

Válasz:

A jövedelem-fogyasztási görbe azon az x-y kombinációk a fogyasztói térben, amelyeket különböző jövedelem, de változatlan árak mellett vásárolna a fogyasztó. Ezért az ICC görbe egyenlete azon pontokat írja le, amelyeknél a közömbösségi görbék meredeksége (a helyettesítés határrátája) megegyezik az árak arányával.

A közömbösségi görbe mentén a helyettesítés határrátája megegyezik a határhasznok arányával, vagyis a hasznossági függvény x szerinti deriváltjának és y szerinti deriváltjának hányadosával. A ráta meghatározásához először ez utóbbi deriváltakra van szükségünk.

Az x termék határhaszna az adott fogyasztó esetében hasznossági függvényének x szerinti deriváltja: . Az y termék határhaszna:

A helyettesítés határrátája:

Az ICC görbe:

3. Írjuk fel az Engel görbe egyenletét!

Válasz:

Az Engel-görbe kifejezi, hogy a jövedelem változásával hogyan változik egy adott termék kereslete. A görbét lényegében az ICC-görbéből lehet levezetni, úgy, hogy a jövedelem nagyságát is figyelembe vesszük.

A közömbösségi görbe és a költségvetési egyenes érintési pontját most úgy kell meghatároznunk, hogy az árakat adottnak vesszük, de a jövedelmet változónak:

Helyettesítsük be ezt a közömbösségi görbe egyenletébe és határozzuk meg az optimumot!

ennek a deriváltja:

Az optimumban ennek 0-val kell megegyeznie: . Ebből kifejezve x-t, megkapjuk, hogyan függ x kereslete a jövedelemtől. Ez pedig az Engel-görbe egyenlete:

Ha most az induló helyzetben szereplő jövedelmet vesszük figyelembe, akkor szintén 40 egységnyi keresletet kapunk eredményként.

4. Mekkora lesz az x termék kereslete, ha változatlan árak mellett a fogyasztó jövedelme 750-re növekszik?

Válasz:

Az Engel-görbe egyenlete alapján: 750/15 = 50.

Ellenőrzésképpen határozza meg a keresletet a közömbösségi görbék és az új költségvetési egyenes segítségével is!

A költségvetési egyenes egyenlete:

Ezt behelyettesítve a közömbösségi görbe egyenletébe:

a deriváltja:

A megoldás: x = 50

5. Határozzuk meg x termék keresletének jövedelem-rugalmasságát!

Megoldás 1.

Ívrugalmasság:

Megoldás 2.

Pontrugalmasság:

Az Engel-görbe deriváltja: 1/15. Ha az Engel-görbét osztjuk I-vel, annak értéke szintén 1/15, a kettő hányadosa pedig 1.